Таблица 3.1. Сравнение формул для вычисления dfldx при л- = 1.0

Таблица 3.2. Сравнение формул для вычисления dT/dx при х = 1.0

Алгебраические формулы для главных членов выражений, определяющих ошибку аппроксимации, приводятся в табл. 3.3 и 3.4. Эти формулы получены так, как в п. 3.2.1,- путем разложения в ряд Тейлора в окрестности /-го узла. В табл. 3.3 приняты обозначения: rjc = dr/dA: H т. дДля данного конкретного примера (Г = ехрл:) имеем Txxx = Fxxxx и т. д. Следовательно, величина ошибки в первую очередь зависит от степеней Ах. А отсюда вытекает, что по* мере уменьшения Ах следует ожидать, что при использовании пятиточечной формулы ошибка аппроксимации будет уменьшаться гораздо быстрее, чем при использовании двухточечных формул с разностями вперед или назад.

Таблица 3.3. Главный член ошибки аппроксимации (алгебраическое представление): dT/dx

§ 3.3. Точность процесса дискретизации 8S

Причина большой ошибки, связанной с трехточечной асимметричной формулой и показанной в табл. 3.2, становится очевидной из рассмотрения табл. 3.4, на которой видно, что главный член ошибки аппроксимации имеет в этом случае всего лишь первый порядок точности.

Как видно из табл. 3.1 и 3.2, существует тесная корреляция между непосредственно рассчитанной ошибкой и ошибкой аппроксимации. На этом основании следует ожидать, что непосредственно рассчитанная ошибка будет уменьшаться вместе с Лл: по такому же закону, как это показано в табл. 3.3 и 3.4. Этот вывод подтверждается и результатами, показанными на рис. 3.4 и 3.5. Если построить графики в логарифмической шкале, то градиент результатов, касающихся сходимости, т. е. скорость сходимости, соответствует определенной степени Дх. Как это ясно из данных, приведенных на графиках, в рассмотренных нами различных случаях ожидаемая скорость сходимости подсказывается теми выражениями главных членов ошибки аппроксимации, которые приведены в табл. 3.3 и 3.4. Оценку скорости сходимости можно по-прежнему основы:ать на данных об ошибке аппроксимации, даже если точное решение неизвестно.

3.3.1. Сравнение формул высокого и низкого порядков

Если судить по тем результатам, которые были изложены выше, то может показаться, что во всех случаях следует пользоваться формулой высокого порядка на мелкой сетке. Однако это впечатление обманчиво. Во-первых, расчет по формуле высокого порядка охватывает большее количество точек и, следовательно, оказывается менее экономичным, чем расчет по формуле низкого порядка. С точки зрения практической перспективы та точность, которая может быть достигнута при заданном времени исполнения, или вычислительная эффективность, более важна, чем просто точность; точность же всегда можно повысить за счет измельчения сетки. Вычислительная эффективность рассматривается в § 4.5.

Во-вторых, формулы высокого порядка обладают сравнительно небольшим преимуществом в точности перед формулами низкого порядка в случае грубой сетки, однако такое преимущество становится значительно больше, если сетка мелкая. Однако при решении некоторой конкретной задачи нередко случается, что требуемый уровень суммарной точности результатов соответствует именно грубой сетке или же применение грубой сетки необходимо из-за ограничений на машинную память либо на время исполнения. Превосходство формул